Dipôle magnétique

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Un dipôle magnétique est l'équivalent pour le champ magnétique de ce qu'est un dipôle électrostatique pour le champ électrique. Il est entièrement caractérisé par le vecteur moment magnétique (ou moment dipolaire magnétique), l'équivalent pour le magnétisme de ce qu'est le moment dipolaire pour l'électrostatique.

Boucle de courant

La représentation matérielle la plus simple d'un dipôle magnétique est une boucle de courant, c'est-à-dire un courant électrique circulaire. Le moment magnétique de ce dipôle élémentaire est le vecteur ${\vec {\mu }}=I\,{\vec {S}}$ , où $I$ est l'intensité du courant et ${\vec {S}}$ le vecteur surface (vecteur de module égal à l'aire $S$ du cercle, d'origine $O$ au centre du cercle, dirigé suivant l'axe du cercle, et orienté en fonction du sens du courant selon la règle du tire-bouchon).

Au sens strict, un dipôle magnétique est la limite d'une boucle de courant quand on fait tendre $I$ vers l'infini et $S$ vers 0, tout en maintenant constant le vecteur ${\vec {\mu }}=I\,{\vec {S}}$ .

Parallélisme entre magnétisme et électrostatique

Équations

Les dipôles électrostatiques et magnétiques obéissent à des lois similaires, mutatis mutandis. Dans ces lois :

le moment magnétique ${\vec {\mu }}$ joue le même rôle que le moment électrostatique ${\vec {p}}$ ;
l'induction magnétique ${\vec {B}}$ joue le même rôle que le champ électrique ${\vec {E}}$ ;
la perméabilité magnétique du vide $\mu _{0}$ joue le même rôle que l'inverse de la permittivité diélectrique du vide, ${\frac {1}{\varepsilon _{0}}}$ .

Loi	Électrostatique	Magnétisme
Énergie potentielle d'un dipôle dans un champ	$E_{\mathrm {p} }=-{\vec {p}}\cdot {\vec {E}}$	$E_{\mathrm {p} }=-{\vec {\mu }}\cdot {\vec {B}}$
Couple exercé sur un dipôle par un champ	${\vec {\Gamma }}={\vec {p}}\wedge {\vec {E}}$	${\vec {\Gamma }}={\vec {\mu }}\wedge {\vec {B}}$
Force exercée sur un dipôle par un champ	Si ${\vec {\nabla }}\wedge {\vec {E}}={\vec {0}}$ : ${\vec {F}}=-{\vec {\nabla }}E_{\mathrm {p} }={\vec {\nabla }}({\vec {p}}\cdot {\vec {E}})$ Sinon : ${\vec {F}}=({\vec {p}}\cdot {\vec {\nabla }}){\vec {E}}$	${\vec {F}}=-{\vec {\nabla }}E_{\mathrm {p} }={\vec {\nabla }}({\vec {\mu }}\cdot {\vec {B}})$
Champ créé par un dipôle	${\vec {E}}=\left({\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\right){\frac {3({\vec {p}}\cdot {\vec {u}}){\vec {u}}-{\vec {p}}}{r^{3}}}$	${\vec {B}}=\left({\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\right){\frac {3({\vec {\mu }}\cdot {\vec {u}}){\vec {u}}-{\vec {\mu }}}{r^{3}}}$
Énergie potentielle d'interaction de deux dipôles	$E_{\mathrm {p} }=-\left({\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\right){\frac {3({\vec {p}}_{1}\cdot {\vec {u}})({\vec {p}}_{2}\cdot {\vec {u}})-{\vec {p}}_{1}\cdot {\vec {p}}_{2}}{r^{3}}}$	$E_{\mathrm {p} }=-\left({\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\right){\frac {3({\vec {\mu }}_{1}\cdot {\vec {u}})({\vec {\mu }}_{2}\cdot {\vec {u}})-{\vec {\mu }}_{1}\cdot {\vec {\mu }}_{2}}{r^{3}}}$

Dans les équations ci-dessus :

${\vec {u}}$ représente le vecteur unitaire dirigé de la position $O$ du dipôle vers celle $M$ du point courant (cas du champ créé par un dipôle), ou bien de la position $O 1$ du premier dipôle vers celle $O 2$ du second (cas de l'interaction dipôle-dipôle) ;
$r$ est la distance $OM$ , ou bien $O 1 O 2$ .

Démonstration: Énergie potentielle d'interaction de deux dipôles magnétiques

Soient deux dipôles $D_{1}$ et $D_{2}$ et leur moment magnétique respectif ${\vec {\mu _{1}}}$ et ${\vec {\mu _{2}}}$ . Appelons $E_{p}$ l'interaction du moment magnétique ${\vec {\mu _{2}}}$ avec le champ créé par ${\vec {\mu _{1}}}$ au niveau de $D_{2}$ . Le moment magnétique ${\vec {\mu _{1}}}$ de $D_{1}$ crée à la distance r (considérée grande) le potentiel vecteur ${\vec {A_{1}}}:$

{\vec {A_{1}}}={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}{\frac {{\vec {\mu _{1}}}\wedge {\vec {r}}}{r^{3}}}

Ce potentiel vecteur crée en

{\vec {r}}

un champ magnétique

{\vec {B_{1}}}={\vec {\nabla }}\wedge {\vec {A_{1}}}

. En fixant arbitrairement

{\vec {\mu _{1}}}

selon l'orientation de l'axe Oz:

${\vec {A_{1}}}={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\mu _{1}{\frac {{\vec {e_{z}}}\wedge {\vec {r}}}{r^{3}}}={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\mu _{1}{\frac {\sin \theta }{r^{2}}}{\vec {e_{\varphi }}}=A_{\varphi }{\vec {e_{\varphi }}}$ en coordonnées polaires.

$\Rightarrow {\vec {B_{1}}}={\vec {\nabla }}\wedge {\vec {A_{1}}}={\begin{pmatrix}{}{\frac {1}{r\sin \theta }}\left({\frac {\partial (\sin \theta A_{\varphi })}{\partial \theta }}-{\frac {\partial A_{\theta }}{\partial \varphi }}\right)\\{\frac {1}{r\sin \theta }}\left({\frac {\partial A_{r}}{\partial \varphi }}-\sin \theta {\frac {\partial (rA_{\varphi })}{\partial r}}\right)\\{\frac {1}{r}}\left({\frac {\partial (rA_{\theta })}{\partial r}}-{\frac {\partial (A_{r})}{\partial \theta }}\right)\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{}{\frac {1}{r\sin \theta }}{\frac {\partial (\sin \theta A_{\varphi })}{\partial \theta }}\\-{\frac {1}{r}}{\frac {\partial (rA_{\varphi })}{\partial r}}\\0\end{pmatrix}}={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\mu _{1}{\begin{pmatrix}{}{\frac {1}{r^{3}\sin \theta }}{\frac {\partial (\sin ^{2}\theta )}{\partial \theta }}\\-{\frac {\sin \theta }{r}}{\frac {\partial (r^{-1})}{\partial r}}\\0\end{pmatrix}}$

={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\mu _{1}{\begin{pmatrix}{}{\frac {2\cos \theta }{r^{3}}}\\{\frac {\sin \theta }{r^{3}}}\\0\end{pmatrix}}={\frac {\mu _{0}}{4\pi r^{3}}}\left(2({\vec {\mu }}_{1}.{\vec {u}}){\vec {u}}+\mu _{1}\sin \theta {\vec {e_{\theta }}}\right)={\frac {\mu _{0}}{4\pi r^{3}}}\left(3({\vec {\mu }}_{1}.{\vec {u}}){\vec {u}}+\mu _{1}\sin \theta {\vec {e_{\theta }}}-\mu _{1}\cos \theta {\vec {u}}\right)

or:

{\begin{cases}{\vec {u}}=\sin \theta \cos \varphi {\vec {e_{x}}}+\sin \theta \sin \varphi {\vec {e_{y}}}+\cos \theta {\vec {e_{z}}}\\{\vec {e}}_{\theta }={\frac {\partial {\vec {u}}}{\partial \theta }}=\cos \theta \cos \varphi {\vec {e_{x}}}+\cos \theta \sin \varphi {\vec {e_{y}}}-\sin \theta {\vec {e_{z}}}\end{cases}}

\Rightarrow {\begin{cases}\cos \theta {\vec {u}}=\cos \theta \sin \theta \cos \varphi {\vec {e_{x}}}+\cos \theta \sin \theta \sin \varphi {\vec {e_{y}}}+\cos ^{2}\theta {\vec {e_{z}}}\\-\sin \theta {\vec {e_{\theta }}}=-\cos \theta \cos \varphi \sin \theta {\vec {e_{x}}}-\cos \theta \sin \theta \sin \varphi {\vec {e_{y}}}+\sin ^{2}\theta {\vec {e_{z}}}\end{cases}}\Rightarrow \cos \theta {\vec {u}}-\sin \theta {\vec {e_{\theta }}}={\vec {e_{z}}}

\Rightarrow {\vec {B_{1}}}={\vec {\nabla }}\wedge {\vec {A_{1}}}={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\left({\frac {3({\vec {\mu }}_{1}.{\vec {u}}){\vec {u}}-{\vec {\mu _{1}}}}{r^{3}}}\right)

Du fait de

D_{1}

, il y a création d'une énergie potentielle d'interaction sur

D_{1}

:

E_{p}=-{\vec {\mu _{2}}}.{\vec {B_{1}}}=-{\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\left({\frac {3({\vec {\mu }}_{1}.{\vec {u}})({\vec {\mu _{2}}}.{\vec {u}})-{\vec {\mu _{1}}}.{\vec {\mu _{2}}}}{r^{3}}}\right)

C'est à partir de cette expression que l'on peut mettre en évidence, par la théorie des perturbations, la structure fine dans le spectre de résonance magnétique résultant de l'interaction des spins de 2 particules formant ainsi des dipôles magnétiques.

Démonstration: Énergie potentielle d'interaction de deux dipôles électriques

Soient deux dipôles $D_{1}$ et $D_{2}$ placés respectivement en A et B: ${\vec {AB}}={\vec {r}}=r{\vec {u}};{\vec {OA}}={\vec {r_{A}}};{\vec {OB}}={\vec {r_{B}}}$

Leur moment électrostatique respectif est noté:

{\vec {p_{1}}}=q{\vec {r_{A}}}

et

{\vec {p_{2}}}=q{\vec {r_{B}}}

.

{\vec {D_{1}}}

crée en

{\vec {r}}

un potentiel électrique V qui interagit avec

{\vec {D_{2}}}

. Cela donne naissance à une énergie l'interaction

E_{p}

. Un champ électrique

{\vec {E}}=-{\vec {\nabla }}V

dérive du potentiel

V({\vec {r}})

.

Si ${\vec {r}}$ est suffisamment grand, le potentiel $V({\vec {r}})$ a pour expression: $V({\vec {r}})={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}{\frac {{\vec {p_{1}}}.{\vec {r}}}{r^{3}}}$ Il s'ensuit : ${\vec {E}}=-{\vec {\nabla }}V({\vec {r}})=-{\frac {q}{4\pi \epsilon _{0}}}{\vec {\nabla }}\left({\frac {{\vec {r_{A}}}.{\vec {r}}}{r^{3}}}\right)=-{\frac {q}{4\pi \epsilon _{0}}}{\begin{pmatrix}{}{\frac {\partial }{\partial r}}{\frac {{\vec {r_{A}}}.{\vec {r}}}{r^{3}}}\\{\frac {1}{r}}{\frac {\partial }{\partial \theta }}\left({\frac {{\vec {r_{A}}}.{\vec {r}}}{r^{3}}}\right)\\{\frac {1}{r\sin \theta }}{\frac {\partial }{\partial \varphi }}\left({\frac {{\vec {r_{A}}}.{\vec {r}}}{r^{3}}}\right)\end{pmatrix}}=-{\frac {q}{4\pi \epsilon _{0}}}{\begin{pmatrix}{}-2{\frac {r_{A}}{r^{3}}}\cos \theta \\-{\frac {r_{A}}{r^{3}}}\sin \theta \\0\end{pmatrix}}$

={\frac {q}{4\pi \epsilon _{0}}}{\frac {r_{A}}{r^{3}}}(3\cos \theta {\vec {u}}-\cos \theta {\vec {u}}+\sin \theta {\vec {e_{\theta }}}

or:

{\begin{cases}{\vec {u}}=\sin \theta \cos \varphi {\vec {e_{x}}}+\sin \theta \sin \varphi {\vec {e_{y}}}+\cos \theta {\vec {e_{z}}}\\{\vec {e}}_{\theta }={\frac {\partial {\vec {u}}}{\partial \theta }}=\cos \theta \cos \varphi {\vec {e_{x}}}+\cos \theta \sin \varphi {\vec {e_{y}}}-\sin \theta {\vec {e_{z}}}\end{cases}}

\Rightarrow {\begin{cases}\cos \theta {\vec {u}}=\cos \theta \sin \theta \cos \varphi {\vec {e_{x}}}+\cos \theta \sin \theta \sin \varphi {\vec {e_{y}}}+\cos ^{2}\theta {\vec {e_{z}}}\\-\sin \theta {\vec {e_{\theta }}}=-\cos \theta \cos \varphi \sin \theta {\vec {e_{x}}}-\cos \theta \sin \theta \sin \varphi {\vec {e_{y}}}+\sin ^{2}\theta {\vec {e_{z}}}\end{cases}}\Rightarrow \cos \theta {\vec {u}}-\sin \theta {\vec {e_{\theta }}}={\vec {e_{z}}}

\Rightarrow {\vec {E}}=-{\frac {q}{4\pi \epsilon _{0}}}{\frac {r_{A}}{r^{3}}}(-3\cos \theta {\vec {u}}+\cos {\vec {u}}-\sin \theta {\vec {e_{\theta }}})=-{\frac {q}{4\pi \epsilon _{0}}}{\frac {1}{r^{3}}}(r_{A}{\vec {e_{z}}}-3({\vec {r_{A}}}.{\vec {u}}){\vec {u}})

En fixant arbitrairement

{\vec {r_{A}}}=r_{A}{\vec {e_{z}}}:{\vec {E}}=-{\frac {q}{4\pi \epsilon _{0}}}{\frac {1}{r^{3}}}({\vec {r_{A}}}-3({\vec {r_{A}}}.{\vec {u}}){\vec {u}})

L'interaction dipôle-dipôle est alors:

E_{p}=-{\vec {E}}.{\vec {p_{2}}}=-{\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}{\frac {1}{r^{3}}}\left({\vec {p_{1}}}.{\vec {p_{2}}}-3({\vec {p_{1}}}.{\vec {u}})({\vec {p_{2}}}.{\vec {u}})\right)

Cette expression permet de mettre en évidence, par la théorie des perturbations, les forces de Van der Waals qui interviennent dans les liaisons chimiques résultant de l'interaction électrostatique entre deux particules formant ainsi des dipôles électriques.

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